Du hast natürlich Recht, sie kann bis 1/4 des Radius im Kreis schwimmen. Die gesamte Lösung hier nochmal:
Wenn die Prinzessin schaut, wo der Unhold steht und dann genau zur gegenüberliegenden Seite des Ufers schwimmt, schafft sie es leider nicht. Das zeigt die folgende kurze Rechnung. Damit das Ganze nicht unnötig kompliziert wird, gehen wir davon aus, dass der Radius des Sees genau 1 beträgt. Die Prinzessin würde beim direkten Schwimmen zum Ufer also eine Streckenlänge von 1 zurücklegen.
Der Unhold wiederum müsste eine halbe Runde um den See rennen, um die junge Frau am gegenüberliegenden Ufer abzufangen. Sein Weg entspricht einem Halbkreis und hat deshalb die Länge Pi = 3,142… (der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 ist 2*Pi). Wir sehen sofort, dass der Unhold zuerst an der Uferstelle ist, die die Prinzessin anvisiert. Denn er ist viermal schneller und muss nur die 3,142-fache Strecke zurücklegen.
Näher ans Ufer - aber wie?
Um die Lösung zu finden, müssen wir die Frage anders stellen: Wie nah muss die Prinzessin dem Ufer sein, damit der am entgegengesetzten Ufer losrennenden Typ es nicht bis zu ihr schafft? Der Weg letzterem entspricht dann wieder genau dem Halbkreis - hat also die Länge der Kreiszahl Pi. Weil der Unhold viermal schneller ist, muss der Weg der Prinzessin zum Ufer kleiner sein als Pi/4, was rund 0,79 entspricht.
So rettet sich die Prinzessin: Sie paddelt zuerst 0,21 vom Mittelpunkt weg (links), schwimmt danach im Kreis (Mitte), bis sie eine halbe Runde Vorsprung vor dem Unhold hat. Und dann biegt sie aus der Kreisbahn ab zum Ufer (grüne Strecke).
Die Prinzessin müsste also schon mindestens etwa 0,21 vom Seemittelpunkt entfernt sein, während sich der Unhold am gegenüberliegenden Ufer befindet.
Erst im Kreis Vorsprung erarbeiten
Eine solche Konstellation kann die Prinzessin tatsächlich herbeiführen. Sie schwimmt 0,21 vom Mittelpunkt weg, um ab dann im Abstand von 0,21 um den Seemittelpunkt im Kreis zu kraulen. Weil die Winkelgeschwindigkeit der Prinzessin dann größer ist als die der Unhold, kann die junge Frau ihren Vorsprung vor der am Ufer laufenden Unhold stetig ausbauen, bis er eine halbe Runde beträgt. Hat die Prinzessin das geschafft, biegt sie zum Ufer ab und entkommt.
Ein Hinweis:
Der Weg zum Ufer im Moment des Abbiegens aus der kreisförmigen Schwimmbahn muss kleiner sein als Pi/4 (=0,7853981…). Das heißt: Der Radius dieses Schwimmkreises ist größer als 1-Pi/4 (=0,21460…). Es gibt aber auch eine Obergrenze für den Kreis der Prinzessin. Ab einem Durchmesser von 1/4 = 0,25 ist ihre Winkelgeschwindigkeit nicht mehr größer als die des Unholds - dann kann sich die junge Frau den nötigen Vorsprung von einer halben Runde nicht mehr erarbeiten.
Punkt damit verdient, auch wenn es für die Prinzessin sehr knapp wird.
